Есть ли грамматическая основа у предложения: Нет проблем.?

Предложение Нет проблем - это односоставное безличное предложение с одним главным членом - сказуемым нет.
О безличных предложениях подробнее см.
Как устроен наш язык. Глава 26. Синтаксис. Односоставные предложения 

Примечание:
Не путай безличные отрицательные предложения с грамматически не оформленными высказываниями.
- Ты идешь?
- Нет. 
Слова-высказывания: -да, -нет грамматически не оформлены, у них нет грамматической основы предложения. 

Смотрите также